優先的に育てる鯖について

所持鯖の観点から育成よりストーリー進行を考えたほうがいいと思います。
理由としては第2部（＆1.5部）の鯖が多く素材収集するにも第2部等の素材を要求する鯖が多いからです。
以上の点から第2部＆1.5部に登場した鯖を除く、役に立つ鯖をいくつか上げさせていただきます。

・ランスロット（狂）
　カレスコ等初期NPがある礼装をつければサポート孔明or術スカサハを借りれば即座に宝具を打つことが可能。他の鯖と違い全体宝具かつ高威力と持つもの持っているためお勧め。
・ジャック（殺）
　アサシンの中ではトップクラス。単機になればAQQEXで大体宝具が次ターン打てるQオバケ
・マシュ（盾）
　育成していないなら育成しておいて損はない。と言うのもストーリーの関係でマシュ単機強制で出撃しなければいけないときもあるので育成できるなら早めに育成しておいたほうがいい。
・エレキシュガル（槍）
　スキル３からの宝具でカリスマＡ相当のバフ付与が可能。自己でＮＰ供給もできる。ただしスキル上げには1.5部の素材が必要。

　以上の３体は育成しておいて損はないと思います。他にもヘラクレスをお勧めしたかったのですがヘラクレスの場合は絆礼装＆スキルマが前提の運用になるので控えさせて頂きます。

以上参考になれば幸いです。

サーヴァントの表示サイズを変えて、画面に表示される数を増やすことができます。左下の正方形が書かれたアイコンですね。質問の時などに有効活用してください。
その中では、刑部姫、ランスロット、マシュですかね。ワルキューレもスカディシステムで強いですが、素材が入手できないためストーリーを進める必要があります。
刑部姫はキャスターが使えないようなクエストで局所的に役に立つ鯖です。スキル上げは後回しでいいですが、レベルくらいは上げておきましょう。
ランスロットはスカディシステムの最有力候補で、それ以外に単体ボス戦でも十分に戦えます。単体ボス戦での魅力は通常攻撃のクリティカルなので、宝具レベルを気にしなくていいのがいいところ。
マシュはいつまで行っても最も優秀な盾です。スキル上げも最優先で行いましょう。高難易度クエストが勝てるかどうかは、マシュの立ち回りの上手さが直結していると言っても過言ではなく、非常に重要です。
あとは、低レア周回の常連メンバー、すなわち、アーラシュ、スパルタクス、シェイクスピア、パラケルスス、アヴィケブロンあたりも育てておきましょう。周回難易度が恐ろしく低下します。
ただ、ストーリーを進めるのが中心であることは疑いの余地がありません。今後もストーリーを進めていることが条件のイベントが多いでしょうから、しっかり進めましょう。イベントで実装された鯖（たとえばXXなど）も新章の素材を使うことがあるので、ストーリーを進めていないと苦しくなるかと。

育成としてマシュは最優先と言ってもいいでしょう
7章まで進めてるという事はスキル全開放に宝具強化もされているはずです。
コストパフォーマンスもですがほぼ全てのイベント対象キャラでもありますので絆育成以外ではPT枠の１つを埋めがちなので育成しておくといいでしょう

周回に役立つキャラ育成となると低レアのアーラシュ スパルタクス シェイクスピアなどがおススメです。
周回キャラはNP供給スキルを保有してるサポートキャラや高威力な全体宝具持ちを育成するのがいいです。

今後役立つ系としてはエウリュアレとかでしょうか
イベントやストーリー等で男性単騎バトルなどよく見かけますので優位クラスではなくとも魅了拘束&特攻宝具で攻略難度をだいぶ下げる事が出来ます。

画像の高レアですとジャック ヘラクレス 狂スロあたりですかね
ヘラクレスは絆レベル10まで連れ回す必要がありますが1vs1の殴り合い状態に持ち込めば数ターンは生き残り勝ちを拾えたりします。
アーラシュのメガンテやマシュ レオニダスと言ったタゲ集中持ちと組み合わせると比較的タイマンに持ち込みやすいです

画像外の低レアの紹介が多かったかもしれませんが今後役立つキャラとしては高レアより低レアの育成が大きいと思いましたのでご紹介させていただきました

まずはマシュとヘラクレスとゲオルギウスを全力で育てましょう。
育てられていないキャラが多いので、あれもこれもと満遍なく育てるよりも、育てるキャラを絞りましょう。
この三人にフレンドのサポートキャラがいれば大半のストーリー難所は突破できます。
そのあとは他の方が挙げている有能キャラを必要に応じて育てて行けばよろしいかと。