1.5部について

・1.5部について
一応続きにはなってます。新宿と剣豪は特に2部につながる部分が大きいと思います。セイレムも一応1.5部の最終章ということでつながる部分もありますね。アガルタは分かりません。自分は伏線は回収されるまでは強調されてない限りどこに伏線が張られているのかもわからないタイプです。今のところアガルタに関してはやらなくてもそこまで2部の話的には問題ないように思います。
ただ、2部からやっても色んな面に目を瞑れば話は理解できると思います。イベントの参加条件を満たすのも大事ですしね。ストーリーが飛んでしまうのがどうしても嫌であればなんとか時間作って新宿・剣豪・セイレムはクリアしましょう。

・1部終章9節について
ここは配信当時までのイベントで登場した鯖が集まっています。巌窟王もその一人です。レアプリで交換することで監獄塔のイベントは遊ぶことができるので、もし興味があればやってみるといいでしょう。

・キャメロットの三蔵ちゃんについて
「主人公には借りがある」というのは「星の三蔵ちゃん、天竺に行く」というイベントの内容を受けてのものです。6章の話の途中には「天竺から帰る途中」みたいな発言があったと思います。

なお自分も去年の夏始めたため、この辺のイベントはやってなくて詳しい内容まではわからないので、他の回答者に詳しく聞くか、youtubeでストーリーをアップしている人もいるのでそちらで暇なときに確認するといいと思います。

いちおう、1.5部を飛ばしても2部の話はほとんど理解できますが、1.5部は伏線まみれなのでクリアしておいたほうがスムーズ。やっておいたほうが話は分かりやすいですね。また、最新章クリアが参加条件となっているイベントでも、ストーリーが伏線になっていることがあるので、できればクリアしておきたいかな…
これまでのイベントだと、監獄塔や三蔵ちゃんなどがストーリーを補完するような位置づけで開催されましたね。質問に書かれている通り、巌窟王や三蔵ちゃんはイベント出演がありました。なお、監獄塔は自分でイベント開放できるのでプレイしてみるのもおすすめ。難易度は高いですが。

1.5部を飛ばして2部に進んだ者です。（シンクリア後1.5部プレイ）
飛ばしても話が全く分からないというほどではありませんでした。あとから1.5部クリアして、2部とこうやって繋がってたんだなと思うこともありましたし、個人的には剣豪→2部4章の順番は守った方が楽しいかと思いますが、シンまでに関しては先にやっても全然意味が分からないとか、話が楽しめないというほどではなかったです。

終章は7章までのメインストーリー&それまでのイベントを総ざらいする内容だったようです。（自分もプレイ開始1年ほどなので悪しからず）
なので全部をプレイしていないユーザーには分かりづらい部分がありますが、例えるなら1.5部と2部の繋がりは、冬木とバビロニアって全体としては大きな物語の一部分だけど一つ一つの独立した話としても読めるよね、っていうくらいの感じかなーと。
個人差はあるかと思いますが、自分としては独立したストーリーとして十分理解できる範囲でした。

ナイチンゲールや巌窟王の幕間だったりセイレムの番外劇だったりが過去イベントと繋がっていたり、鳴鳳荘イベントは術ギルの幕間と繋がっているというファンの考察があったり…色々なところで過去イベントのストーリーを知っていた方が楽しい場面がありますので、1.5部を飛ばさないとしても過去のイベントを調べてみるのも楽しいかもしれません。