FGOの回答詳細

個人的な優先順ですが、
①2004年の断片 ≧ ②晴れの新年 ＞③極地用カルデア制服 ＞ ④カルデア戦闘服 ＞＞ ⑤魔術協会制服 ＞ ⑥アトラス院制服

①2004年の断片ですが、スキル3つともレベルに応じて効果量が上昇し、特にNP獲得量UPはスキルレベルが周回システムに影響する場合もあります。他の宝具威力UPやBスター集中についてもスキルレベルの恩恵が大きいので優先して上げると良いでしょう。

②晴れの新年ですが、こちらもスキル3つともレベルに応じて効果量が上昇します。スキル「リトル・ギフト」のNP増加量は変わりませんが、スター獲得量が5個⇒15個となりクリティカルの出しやすさに影響します。また、最大HP量UPの増加量がスキルレベルで大きく変わるのでなるべく上げておいた方が良いでしょう。
上記①・②については、総必要経験値量が少なめであることもおススメポイントです。

③極地用カルデア制服ですが、スキル3つのうち2つがレベルに影響しますが、その2つ（HP回復、攻撃力&宝具威力UP）ともスキルレベルの恩恵が大きいため、レベル上げの価値は高いです。
ただ、他の礼装と比べて総必要経験値量が非常に多い（①・②の15着分以上、④～⑥の2着分以上）ので、レベル上げには長い時間が必要となります。なので気長に育成していくと良いかと。

④カルデア戦闘服ですが、スキル3つのうち1つがレベルに影響します。効果量の上昇値は然程大きくはありませんが、攻撃力UPなのでレベル上げの価値はあります。
ただ、他のスキルにガンドやオーダーチェンジがあるため普段使用がとてもしやすいため、意識してレベル上げをする必要はないかもしれません。

⑤魔術協会制服ですが、スキル3つのうち1つがレベルに影響します。効果量の上昇値は大きいですが、HP回復なので優先してレベルを上げなくても良いでしょう。
また、固定でNP20獲得スキルがあるので、周回方法等によっては自然に上がっていくかもしれません。

⑥アトラス院制服ですが、スキル3つともレベルに応じた効果量の変化がありません。そのためレベル上げの恩恵がスキルのCT短縮のみとなりますが、それぞれCT15⇒13なので通常使用ではあまり意味がありません。
また、スキルの内容からして高難易度クエストでの使用が想定されるのであまり使う機会が無いというのも優先されない要因です。
ただ、Aパのような中～長時間の戦闘ではCTの差が戦局を変えることもあるので、余裕があれば上げるのも良いかもしれません。