白猫の回答詳細

通常クエスト:シナリオ、イベントクエストNormal

操作スキルを持っていてなおかつそれがビーム系…っていうのが理想ですけど、実際のところ最近実装されたキャラであればクリアする事に関しては殆ど問題なくできます。

協力クエスト:アゲアゲ、イベント協力

全難易度で言えることですが、基本最近実装されたキャラで行きましょう。さらにいえばアゲアゲ協力というのは先頭に編成しているキャラのレベルを101～150まで育成するための協力クエストです。最初はなるべく自分の持ちキャラの中で1番強いキャラ(ここのサイトの評価を参照)を編成しましょう。
もうひとつ重要な要素として｢弱点、耐性｣という概念があります。詳しくはこのサイトの初心者用の攻略記事を見ていただければ分かると思います。アゲアゲ協力に関しては弱点、耐性を持つ敵は現れないのですが、イベント協力の場合は割と重要な要素です。クエストの敵一覧から弱点、耐性一覧を確認して、なるべくそこに出現するモンスターが耐性を持っていない職属性のキャラで挑みましょう。

高難易度クエスト:イベントクエストnightmare、challenge、hell、その他

nightmareに関しては敵の体力もNormalに比べると格段に増え、対策も必要になります。基本100レベのキャラでもクリアできるよう設計されていますが、もし心配なら150レベまで上げたキャラを編成してみると良いでしょう。
challengeに関しても同様で、hellに関してはこのサイトを検索すると攻略記事が出てくるので、それを参考にして各種装備や編成を考えましょう。