起動しません

質問主さんが初めて黒猫をプレイする状態か、既にある程度進めた状態かで対応は変わると思います。

一度もプレイされたことがないなら、特にアンインストールすることによるリスクもないので、一度アンインストールしてみるのも手です。インストールを繰り返しても改善されない場合、端末のスペック・容量不足や、通信速度制限、遅いテザリングを使っている等の環境的要因が考えられます(私も昔wifi環境で無い時にいつまでも起動しなかったことがありました。)

プレイ済みならバックアップをしてないとデータが消えますので、アンインストールは避けて下さい。ただ、一度でも起動したなら普通は問題無いはずですが…　今の質問だと通信環境等の前提条件の開示が少なすぎて何とも言えません。ここの一般人の経験則ですので、本当に困っているならコロプラに直接メールするべき案件と思います。
一般サポートのメールアドレスは下記です。
quizwiz@colopl.jp

OSの種類
アプリの種類(Android、au、Amazon、iOS)
初めてプレイしようとしているのかこれまで遊んできているのか
既に遊んでいる場合はアドバンストユーザー登録をしたか
毎日遊んでいるか久しぶり(月単位)のプレイか

といったことでいろいろ違うと思いますが。

まず確認ですが、「アニメーション」というのは6th AnniversaryのPVでしょうか。
もしくはFairyChord2でしょうか。
それとも、オープニングムービーでしょうか。
「メニュー」というのは6th Anniversary PVの右上に表示されているものでしょうか。
それとも、Android OS等の機能のことでしょうか。

とりあえず、既に遊んでいるアカウント、アニメーションは6th Anniversary、メニューはPVの右上のものであると仮定して回答します。

一旦OSの機能で黒猫のウィズアプリをタスクキルします。
端末を機内モードにしてから黒猫のウィズアプリのアイコンをタップして起動します。
こうすると、スプラッシュ画面に続いて静止画のトップ画面が表示され、すぐに通信ができない旨のエラーを示すダイアログが出ると思います。
この状態で機内モードを解除し、通信が確立してからエラーのダイアログの「OK」をタップしてダイアログを消すことができれば、もう一度画面の中ほどをタップすればゲームに入れると思います。

エラーのダイアログの「OK」をタップしても反応しない場合は…私はAndroid版でしかこういう経験はありませんが、何らかの理由で黒猫のウィズアプリが裏に回った状態になっていると思われます。
複数のアプリを同時使用できる機能が影響しているとか、黒猫のウィズアプリに介在できる他のアプリ(黒猫のウィズアプリの表示を録画するとか配信するとか?)が影響しているとか?

一般的な状態を想定しましたが、Android版でプレイ経験が無い場合はGooglePlayのアカウント設定画面が邪魔をしている、Amazon版でAmazonへのログイン状態が維持されていない、といったようなことでも先に進めない症状になることがあるようです。
スペックの低い端末でしばらく遊んでいなかった場合、強制アップデートを促す画面が出るがその進行がスペックの低さ故に滞るということもあるようです。

アプリのアップデートをしてはどうでしょうか

画面長押しでリスタートできますか？
できなければ、一旦スマホのホーム画面に戻って(Androidであれば、画面上端から下へスワイプ、iPhoneは同じかどうかわかりません)アプリを強制終了させてから、再度立ち上げてみてください。
Androidであれば、設定(歯車)→アプリ→クイズ！で、強制終了をタップします。
くれぐれも、アンインストールは押さないように。
iPhoneは操作方法がわからないので、調べてください。

強制終了のあと、ホーム画面から黒猫のアイコンをタップして、普通に起動するか試してください。
同じ現象が起こるようであれば、一旦ホームから機内モードに切り替えて、黒猫を起動させてください。
通信エラーが起こるので、その状態で機内モードを通常モードに戻し、黒猫エラー画面の[OK]を押すと、起動できると思います。
これでダメなら、他のかたのアドバイスを待ってください。
iPhoneの場合は同じ手順でできるかはわからないので、同様に他のかたのアドバイスを待ってください。
中途半端ですみません。