この計算問題って？(余りの割り算・・)

まず最初に質問に答えると、回答が2つにはなりません。

そもそも あまりとは何か について誤解があるようですが、あまり とは 割られる数 から 割る数に整数を掛けた数 を引いた時の 一番小さい正の数 です。
逆に考えると (割られる数)=(割る数)x(商)+(あまり) ということになります。

たしかに「5=2x2+1」ですが今回の問題で聞かれているのは「10=4x2+□」の□に当てはまる数 なのでアルツさんの考えはそもそも問題が違うということになります。

付け加えると前回の質問の時の問題で聞かれているのは「51=3x(5x3+□)」の□に当てはまる数 であり、アルツさんの考えを同じ表し方をすると「51=3x(3x5)+6」なのでこれも問題が違います。
なぜ3で割って正解を出せたかというと3で割ることで 3x(5x3+□) の括弧の前の3を打ち消したことになって□を簡単に求められるようになったからです。

前回の問題では3で割っても□を求めることが出来ましたが今回の問題では□がそのまま足されているので何か掛けたり割ったりすれば□の答えを正しく求めることは出来なくなります。
前回と違って2で割って簡単にしたり出来ないのはこれが理由です。

どうしてもしたいなら割った数、掛けた数を覚えておいて出たあまりに逆の計算をすることで元の□に戻す必要がありますが、こんな面倒くさい計算をするくらいなら最初から問題通りの割り算であまりを求める方が楽だと思います。

長文失礼しました。

（失礼は重々承知で）
前の質問より進歩が見られません。

皆さんの意見・回答をよく読んで、算数をもう一度、理解し直した方がいいと思います。そちらの方が早いと思います。


アルツさんの理解していない所は計算の法則（ルール）だと思います。そのルールを破っているので、理解できないのだと思います。

通分と約分とは何かを理解されていないようですが、
そもそも単純に小学校でやる算数で考えて下さい。
10個のアメがあります。4人に同じ数だけ分けると何個余りますか？
あなたの答えは通分(本当なら約分)したら、5個を2人に分けると1個余ります。
と言っているのですが、残りのアメ5個と残りの2人はどこに消えたのでしょうか？

方程式でも無いのに何故式が変わってしまっているのですか？
あなたの中では1+2=2+4とか変換されるのでしょうか？

まず初歩的なことから言うと、10を4で割るというのは、10から4を引けるだけ引くということですね。
●●●●●●●●●●
●●●●｜●●●●｜●● ←2回引けました。2個余りました。
では次に「10を4で割るということ」と、「10を2で割るということを2度すること」が同じかどうかを検証します。
●●｜●●｜●●｜●●｜●● ←1回目で5回引けました。余りはありません。
次にこれを2で割るわけですが、5÷2=2あまり1という数式はわかりますが、それがどういう意味かというと、「●●」という1つのまとまりを1(■)と考えていて、
■■■■■を2で割っているのです。
■■｜■■｜■ ←2回引けました。1個余りました。
そうです、余りが1だと思っているのは■が1個あまっているのであって、「■=●●」なので●2個分なのです。どうあがいても余りは2になります。
■というのは途中で便宜上回答する側が持ち出した単位であって、問題の方はそんな質問はしていないのです。

※通分すれば、の方ですが、これも10÷4を20÷8に勝手に変えてしまった時点で、「●=▲▲」という別なスケールを作っているために起こる間違いです。

あまりを考える場合、いわゆる数学規則による除法計算は通用しません。

除法を分数に置き換えた時点であまりの概念が無くなるからです。

中学校で説明を受けるはずですが。

前回の質問は少しは分がありそうな気もしますが、これはさすがに屁理屈クラスの考えですね。

前回の質問の回答でで分数を用いたのは、計算の優先順位をわかるようにするためであって、余りを求める計算に使うものではありません。
なぜなら、整数で表せないから分数を使うのであって、整数を分数で表す必要がないからです。

ところで、因数分解というのをご存じですか？
整数を素数の組み合わせに分解するものですが、それで表すと4=2×2です。
ですから、ご指摘の数式は
10÷4=(5×2)÷(2×2)
となります。
ですから、前と後ろに共通する2で割って
((5×2)÷(2×2))÷2=5÷2
としても結果は同じです。
これが質問者さんの論法ですよね？

でも、今回は２つの数の割り算の余りを求める問題です。
特に問題文に明記されているなら別ですが、単に計算式を提示されているときにわざわざ約分する必要ってあります？
その約分に使った数って余りに反映する必要は無いんですか？

だって前回の答えで…という声が聞こえてきそうですが、今回は単純に２つの数字の除算で、しかも余りを求めるものなので、10というグループをわざわざ２つに分けてまた２つなんて考える必要はありません。
「10個のリンゴを4人に同じ数だけ分けたらいくつ余る？」
で、いいじゃありませんか。

別な屁理屈が来ないように、先の質問の計算をもう一度振り返ります。
先の計算は、51÷3÷5の余りを求めるものでした。
これを言葉にすると、51個を3つのグループに分けます。
そのグループのひとつを今度は３つのグループに分けます。
残ったのはいくつ？
ということです。

質問者さんは、これを3つのグループ全てに当てはめて、各グループの余ったものを集めた訳です。
しかし、既にグループは分けられてしまっているので、余りは1グループ分の2個で良かったわけです。
前回私が最後に結んだ「そういう答えもあるかも」というのは、あくまでも前提が変わればそういう答えもあるということであって、わざわざ別の前提を作り出すことではありません。
誤解のないようにしてください。

簡単に言うと、割り算には『割り切る割り算』と『割り切らない割り算』が存在します。前者は余りを出さずに計算する割り算で、後者は余りを求める割り算です。
割り切る割り算は余りを考慮しないので、割り切れない数、例えば「1÷3」の様な計算であれば「1/3」の様な分数が答えになります。主に中学以降の数学で用いる考え方ですね。この場合、どんな計算式においても無理やり等分して割り切るので、「10÷4=5÷2=5/2」は成り立ちます。
さて、今回の「10÷4=2...□ 余りを求めなさい」と言う問題は問題を見て分かる通り余りを考慮しなければいけない「割り切らない割り算」です。商（割り算の余りを含まない答え）が整数である事が前提の問題である為、割り切る割り算と違い、通分ができません。何故ならこの計算は、加減乗除の内『乗除だけでなく加減法も混ざった問題』であるからです。「10÷4=2...2」という計算を変形すると「10=4×2+2」、更に変形すると「10=8+2=4×2+2」となります。見て分かる通り、10を4で割っているのではなく、余りが最も少なくなる様な10以下の4の倍数(今回は8)を4で割っているのです。割り切る割り算は通分が可能ですが、今回の場合「10÷4」は割り算以外の計算式が隠れているので、このまま通分は出来ません。無理やり通分を用いるなら「10÷4=8÷4...2=2÷1...2=2...2」でしょうか。
結論、「余りを考慮するかしないかで計算方法が変わる為、何でもかんでも通分してはいけない」という事です。

式の解釈が間違ってます。

10÷4はあくまで10を4で割る事なので、10÷2÷2とイコールになりません。

10÷4＝10÷2÷2ではなく

10÷4＝10÷(2×2)なのです。

また、10÷4と20÷8もイコールになりません。

そもそも10と20は別物で、割る数を倍にしてたとしても答えは別物。対比(x:yのような)の公式も当てはまりません。

たぶん、分数と整数の計算がごっちゃになってると思われます。

4/10は8/20は同じ2/5ですが、整数の計算式と分数の計算式は全く違います。

分数はそれ自体が個の数値と考えてください。
4/10は0.4。ここに余りは存在しません。

10÷4は10も4も個の数値であり、10を4で割ると10-4-4で余りが2になる訳です。

よって10÷4＝2余り2が解答となります。

(例1)
10人を4人ずつのチームに分けると、
〇〇〇〇/〇〇〇〇/〇〇
↑のような図のように、2チームできて2人残ります。
この2人を「あまり」いい、
10 ÷ 4 = 2 あまり 2 と書きます。

(例2)
5人を2人ずつのチームに分けると、
〇〇/〇〇/〇
5 ÷ 2 = 2 あまり 1 となります。

あまりのある計算では「4で割る」ことを前提に話を進めるため、この4を操作することはできません。

「あまり」のルールと計算のルールがごっちゃになっていると、たまにこういうことが起こります。
部分的な考え方は間違っていないですが、「あまり」の計算という前提があるので、そこだけ気をつけましょう。

また、「あまり」に着目した表記法として、

5÷2 = 2あまり1
10÷4 = 2あまり2
20÷8 = 2あまり4
のようなものを、
5 = 1 (mod 2)
10 = 2 (mod 4)
20 = 4 (mod 8)
のように書くことがあります。
この書き方だと、なんか式全体に÷2(もしくは×2)してるように見えますね。
高校数学で出てくるので、覚えておいて損はないかもしれません。

（以下雑な説明）
実は、◯あまり◯、という表現は、小学生向けの簡易なモノで、’割る数’を操作しない、という制限が暗黙のうちにあります。より拡張した表現は、次のようになります：

10/4 = 2 ... 2(mod4)

この最後の(mod n)が重要です。なぜならば、4を法とした2と、2を法とした1が、合同だからです。

2(mod4) ≡ 1(mod2)

(これは、4n+2=2m+1 を満たす等差数列n,mが存在する、という意味でもあります。)

そういうわけで、
10/4 = 2 ... 2(mod4)
10/4 = 10/2 /2 = 2 ... 1(mod2) ☆
∴ 2 ... 2(mod4) = 2 ... 1(mod2)
ではあります。

ただし、’あまり’という表現を使う場合は、上の☆の式の様な操作は許されません。小学校のカリキュラムで、’割る数’と’割られる数'、ひいては’かける数'と’かけられる数'を、偏執狂的に弁別する所以のひとつです。

より詳細に知りたい場合は、’群論' ないし ’剰余群’ で検索してください。

10÷4=10÷（2×2）ではないですか？
（5×2）÷（2×2）でもいいと思います。

10÷2÷2=5÷2の所はOKだと思います^_^
でも10÷4とはイコールではなく別の計算かと。

10を4で割るのと5を2で割るのは違いますよね。
言い換えると、
①10万円を、4万円ずつ2人で分けて2万余りました。
②5万円を、2万円ずつ2人で分けて1万余りました。

どちらも同じだと思いますか？私なら絶対に4万貰える①の方になりたいです(^o^)

これが「ゆとり教育の敗北」ってやつですね…

例えば｢×｣も頭のなかで処理してるだけで｢×｣というルールを処理してるだけです

算数的に言えば10人で4人グループ作った時は２グループ出来て2人余ります
÷４を÷２÷２に変形したら4人グループを作るという前提が変わってしまっています
10人を２つの班に分けてそれぞれ2人グループ作ったら｢各班｣で２グループ出来て１人づつ余りますというような事になってる訳です
ある意味｢各班｣を表現出来てないとみれば不完全なルールかもしれませんが、もうそういうものとして頭のなかで処理してくださいという、｢あまり｣という記号なわけです
｢あまり｣というルールは文章的なので式を変形してはいけないと思いましょう(私は細かい事を説明出来るほどではありませんしこれが正しいのかもわかりませんが

ただわからない所や気付いた所など同じ所でつまずく人もいるでしょうから発信することは悪くないと思います
自分と同じ所でつまずいたけど乗り越えたって人がいれば早いですがつまずいてない人には大抵わかりません
納得出来る考え方と会えるといいですね

色々手厳しい回答も見受けられますが、この質問にしろ前回の質問にしろ、数学的に面白いというか、除法や演算子（割り算の記号÷のこと）への理解を深めるための凄くいい質問だと思います。学校での授業で習ったことに疑問を持たずにいた人にとっては、何度同じ質問をするんだ。みたいに感じるでしょうけど。

で、質問で仰っていたとおり、答えは1つに定まらず、2あまり1も2あまり4も間違ってはいません。前回の質問の3あまり6も間違ってはいません。

と言うか、そもそも余りが出る計算において、イコール（＝）で左辺と右辺を結んでいるのが良い表記とは言えないのです。

回答者様の中には、アルスさんの考え方が間違っていると仰っている方もいますが、間違っていません。正しいです。（10÷4=5÷2や10÷4=20÷8　など）

正直な話、悪問と言うしかない問題です。計算問題を作る人は数学を勉強しなおせ、演算子や数学の表記方法をしっかり確認しろ。と言いたいですね。

多分数学好きの知人や数学の先生などに聞いてみると、目を輝かせて色々教えてもらえる質問だと思いますよ。