この計算問題の正解は何？

51/15を約分してください。
17/5になります。
答えは3あまり2なのでアルツさんの解き方でも同じ解答になります。

51÷3÷5 =17÷5 → 2あまり2
なのでしょう。
こちらの方が適していると思う理由は以下の通りです。

3と5の演算を先にしてしまうと
51÷0.6 → 85あまり0
になるはずです。しかしこれは、割り算の計算順序の「左から右」に反します。

これを、
51÷15 → 3あまり6
と解くことにも問題があります。
頭の中で分数の掛け算に直し、結合法則を用いて分母の3と5の「掛け算」を行い、そして再び割り算に直しているのです。
注意しなければならないのは、あまりが定義できない分数の掛け算にした時点で元の問題が解けなくなってしまっていることです。
一般的に割り算は、分数の掛け算に直せると教わるのですが、あまりの計算においては等号が成り立たない部分があるのです。
私があえて、「51÷15 = 3あまり6」ではなく「51÷15 → 3あまり6」と書いているのもこれに関連しています。
こういった問題があるので、あまりの数の計算においては≡やmodという記号による演算が導入されたのだと思います。（※個人の感想です）

なのでこの問題を
51÷3 mod 5
と出題してくれれば迷うこともないのです。

左から計算するからです。
勝手に計算順序を変えてはいけません。
掛け算・割り算は四則演算では優先して計算しますが、同じ演算記号がある場合は原則左から計算します。

余りのない問題であれば
その計算方法でも良いのでしょうが、

「５１個の飴玉をA君B君C君で均等に分けました。
そして、A君は５日間で均等になるように
分けましたが余ってしまいました。
A君の飴玉はいくつ余っているでしょうか?」

文章にするとこんな感じでしょうか、
聞かれているのは、Aと言うグループでの余りなので、
BとCの余りを含めるのは誤りではないでしょうか。

連続する割り算の解き方は、難しいです。
質問主さんは、多分、
「割り算が連続した場合は二つ目を掛け算する」
と教えられたのでしょう。
例であれば、
51÷3÷5は51/3/5（/は分数の横線）なので、割り算の割り算は掛け算という「ルール」を当てはめて後半の3/5を3*5と変換されたのだと思います。
でも、分数とすれば、どっちの横線が長いのでしょう？
先の横線が長い？
でも、それだと51÷(3÷5)と変換していることになります。

ご承知のように、四則演算は加減より乗除が優先されますが、それ以外は、原則として左から右に計算されます。
その順位を変えるときは括弧でくくります。
逆に、括弧が無いときは素直に左から右でいいと思います。
すなわち、51÷3÷5=17÷5=3…2ということになるかと思います。

とはいえ、小学校の教え方や、或いは、51個を3つのグループに分け、さらに5つのグループに分けたとき、確かにグループあたりの余りは2ではあるものの、元々の51から考えると2×3で6個が余っているとも考えられるので、入試レベルでは使えない問題だとは思います。

2行目で3÷5 を15 としていますが、そこは3/5ですよね。
3行目も無理やり書くと51÷3/5になりますよね。
そこから51×5/3と直して約分して…。

イメージで言うと（見にくいですが）

　51
ーーー
　15

ではなく、

　　51
　ーーー
　　 3
ーーーーーー
　 　5

なので、51÷3から計算しなくてはなりません。

51÷3=17
17÷5=3...2